چگونه عدم قطعیت خطی بودن را می‌توان محاسبه کرد؟

1- مقدمه بر عدم قطعیت خطی بودن

مطابق با الزامات استاندارد ISO 15189:2022 و ISO 17025:2017 برای ارزشیابی عدم قطعیت اندازه گیری آزمایشگاه‌ها باید سهم عوامل مختلف در عدم قطعیت اندازه گیری را شناسایی کنند. هنگام ارزشیابی عدم قطعیت اندازه گیری، کلیه سهم‌های معنادار عوامل، از جمله آن‌هایی که از نمونه‌برداری ناشی می‌شود، باید با استفاده از روش‌های تجزیه و تحلیل مناسب، مورد توجه قرار گیرد. عدم قطعیت ناشی از خطی بودن (عدم قطعیت خطی بودن یا خطای غیرخطی بودن) یکی از مولفه های ایجاد عدم قطعیت در اندازه گیری است که بایستی در بسیاری از اندازه گیری ها در بودجه‌ عدم قطعیت در نظر گرفته شود. خطی بودن یک ویژگی است که به طور معمول در مشخصات تجهیزات اندازه گیری توسط سازنده آنها تعیین می‌شود. با این حال در خیلی از موارد آزمایشگاه‌ها در بودجه عدم قطعیت اندازه گیری خود مولفه ناشی از خطی‌بودن را در نظر نمی‌گیرند. اگر یک تابع آزمون یا اندازه گیری وجود داشته باشد که طیف وسیعی از مقادیر را در بر گیرد، ممکن است در نظر گرفتن مولفه ناشی از خطی بودن در ارزیابی عدم قطعیت نیاز باشد. بر این اساس در این پست نحوه محاسبه عدم قطعیت ناشی از خطی بودن با استفاده از نرم افزار Minitab تشریح خواهد شد و در ادامه پست سعی خواهد شد به سئوالات زیر پاسخ‌های مناسبی ارائه شود: 

• عدم قطعیت خطی بودن چیست؟
• چرا عدم قطعیت ناشی از خطی بودن مهم است؟
• چه زمان بایستی عدم قطعیت ناشی از خطی بودن در نظر گرفته شود؟
• چه روش‌های برای برآورد عدم قطعیت ناشی از خطی بودن وجود دارد؟
• از کدام روش برای برآورد عدم قطعیت ناشی از خطی بودن بایستی استفاده نمود؟
• چگونه می‌توان عدم قطعیت خطی بودن را محاسبه نمود؟

2- عدم قطعیت خطی بودن چیست؟

خطی بودن ویژگی یک رابطه ریاضی یا تابع است که می‌تواند به صورت گرافیکی به صورت یک خط مستقیم نشان داده شود. غیر خطی بودن انحراف از یک خط مستقیم در طول یک گستره دلخواه است. بنابراین، عدم قطعیت خطی بودن، عدم قطعیت مربوط به رفتار غیر خطی مشاهده شده در طول یک گستره از یک تابع که خطی فرض شده است، می‌باشد.

هنگامی که شما در مورد عملکرد دستگاه اندازه گیری فکر می‌کنید، احتمالا فرض خواهید کرد که عملکرد اندازه گیری آن در طول محدوده اندازه گیری خطی است. با این حال، به طور معمول این طور نیست. توابع اندازه گیری اکثر دستگاه‌ها در واقع خطی نیستند. در عوض، آنها تقریباً خطی هستند. بنابراین، ما سعی می کنیم آنها را با ضرایب و معادلات خطی یا چندجمله‌ای اصلاح کنیم تا عملکردشان قابل پیش بینی تر باشد. با این حال، معادلات پیش بینی و ضرایب برای رفتار غیر خطی آنها کاملا درست است. بنابراین، باید عدم قطعیت خطی بودن را در نظر بگیریم.

رفتار غیر خطی اغلب برای بسیاری از دستگاه‌های مکانیکی و مواد فیزیکی مشاهده می‌شود. به عنوان مثال برخی از تجهیزات که عدم قطعیت خطی بودن در آنها نیاز به بررسی دارد، عبارتند از:

– فشار سنج (با لوله های بوردون)؛

– سنسورهای فشار؛

– لودسل؛

– نیروی سنج؛

– انواع ترازوها؛

– سنسورهای گشتاور؛

– دماسنج‌های مقاومتی (به عنوان مثال PRT، RTD، ترمیستورها و …)؛

– دماسنج‌های مایع در شیشه ای (به عنوان مثال جیوه، الکل و غیره)؛

– رطوبت سنج؛

– ساعت اندیکاتور؛ و 

– بسیاری از تجهیزات دیگر.

علاوه بر این، بسیاری از دستگاه های الکتریکی می توانند رفتار غیر خطی را نیز نشان دهند برای نمونه می توان به تجهیزات زیر اشاره نمود:

– مولتی متر دیجیتال؛

– کالیبراتورهای چندچند منظور؛

– اسیلوسکوپ‌ها؛

– LCR متر؛

– فاز متر؛

– شبیه سازهای ترموکوپل؛

– سنسورهای توان؛

– ژنراتور سیگنال؛ و 

– بسیاری از تجهیزات دیگر.

مهم نیست که چه نوع تجهیزاتی را استفاده می‌کنید، فراموش نکنید که خطی بودن را در تحلیل عدم قطعیت خود در نظر بگیرید، مگر اینکه مقدار آن ناچیز یا برای اندازه گیری مورد نظر شما کاربرد نداشته باشد.

3- چرا عدم قطعیت خطی بودن مهم است؟

عدم قطعیت ناشی از خطی بودن مهم است زیرا به شما این امکان می‌دهد تا اثرات رفتار غیرخطی در یک تابع اندازه گیری را در بودجه عدم قطعیت آزمون‌ها خود در نظر بگیرید. اگر از معادله برای تخمینی عدم قطعیت در یک گستره اندازه گیری استفاده می‌کنید، ممکن است لازم باشد در ارزیابی عدم قطعیت، مولفه ناشی از خطی بودن را در نظر بگیرید. اغلب شنیده می‌شود که برخی از افراد می‌گویند خطی بودن مهم نیست یا لازم نیست که در بودجه عدم قطعیت آورده شود. این موضوع نیاز به بررسی دارد و بایستی ابتدا عدم قطعیت ناشی از خطی بودن را در بودجه عدم قطعیت اندازه گیری در نظر گرفت اگر تاثیر آن کوچک یا ناچیز بود، آنگاه شواهد کافی برای صرف نظر کردن از آن در بودجه عدم قطعیت وجود خواهد داشت. در غیر این صورت بایستی مولفه ناشی از خطی بودن را در بودجه عدم قطعیت لحاظ کرد. به طور کلی نمی‌توان پیش از انجام بررسی‌های لازم و جمع آوری شواهد کافی این مولفه را از بودجه عدم قطعیت اندازه گیری حذف نمود.

اگر قادر به محاسبه خطی بودن نمی‌باشید، سعی کنید کتابچه‌های راهنمای ارائه شده توسط سازنده مطالعه نماید تا ببینید آیا در جدول مشخصات دستگاه خطی بودن آورده شده است یا خیر. در صورت که در کتابچه‌های و مشخصات دستگاه عدم قطعیت ناشی از خطی بودن آورده شده باشد، می‌توان از این اطلاعات در زمان محاسبه عدم قطعیت کل استفاده نمود و مولفه ناشی از خطی بودن را در بودجه عدم قطعیت در نظر گرفت.

4- چه زمان بایستی عدم قطعیت ناشی از خطی بودن در نظر گرفته شود؟

هر زمانی که عدم قطعیت برای یک گستره اندازه گیری پیوسته تخمین زده می‌شود باید بودجه عدم قطعیت اندازه گیری شامل مولفه ناشی از خطی بودن نیز باشد. اگر قصد استفاده از یک معادله خطی برای پیش‌بینی عدم قطعیت یک گستره اندازه گیری داده شده را دارید، بایستی خطی بودن در آنالیز عدم قطعیت در نظر گرفته شود. هنگام برآورد عدم قطعیت اندازه گیری در یک گستره اندازه گیری، معمولاً عدم قطعیت را در نقاط نزدیک به حداقل و حداکثر گستره اندازه گیری تخمین می‌زنند. اگر در آنالیز عدم قطعیت، عدم قطعیت در نقاط بين حداقل و حداکثر مقادير اندازه گیری تخمين زده نمی‌شود، نياز است که مولفه ناشی از غير خطي بودن در بودجه عدم قطعیت در نظر گرفته شود. علاوه بر این، بسیاری از ابزار اندازه گیری رفتار غیر خطی زیر 10٪ از گستره اندازه گیری را نشان می‌دهد. هنگامی که شما عدم قطعیت را برای مقادیر کمتر از 10٪ از گستره اندازه گیری تخمین می‌زنید، بیشتر احتمال دارد که رفتار غیر خطی را ببینید که نزدیکتر به صفر می‌رسد. بنابراین، هنگام انتخاب نقاط آزمون برای تحلیل عدم قطعیت، باید این مورد را در نظر گرفت.

5- روش‌های محاسبه عدم قطعیت ناشی از خطی بودن

از دو روش معمول زیر می توان هنگام محاسبه عدم قطعیت ناشی از خطی بودن استفاده کرد:

1- حداکثر انحراف از خطی بودن؛

2- انحراف معمول از خطی بودن؛

5-1- روش حداکثر انحراف از خطی بودن

حداکثر انحراف از رفتار خطی یک معادله پیش بینی خطی حداکثر خطا را فراهم می کند (به عنوان مثال رگرسیون، درون یابی)

5-2- روش خطای استاندارد از خطی بودن

خطای استاندارد موجب انحراف معمولی از رفتار خطی یک معادله پیش بینی خط می‌شود (مثلا رگرسیون، درون یابی)
 
هر دو روش انحراف از خطی‌بودن را ارزیابی می‌کنند. تفاوت بین دو روش در این است که یک روش بدترین سناریو را ارزیابی می‌کند و روش دیگری سناریو محتمل‌تر  را ارزیابی می‌کند.

6- از کدام روش برای برآورد عدم قطعیت ناشی از خطی بودن بایستی استفاده نمود؟

روش حداکثر انحراف روش معمولی برای ارزیابی عدم قطعیت ناشی از خطی بودن است. علاوه بر این، این روش در مراجع بیشتری توصیه شده است. اگر تصمیم به انجام بررسی برای تعیین نحوه محاسبه عدم قطعیت ناشی از خطی بودن را دارید، در مراجع بیشتری استفاده از روش حداکثر انحراف ذکر شده است. به عنوان مثال همانطور که در تصویر زیر نیز نشان داده شده است مؤسسه ملی فناوری و استانداردها آمریکا (NIST)، در NIST / SEMATECH Handbook of Engineering Statistics  استفاده از روش حداکثر انحراف را جهت برآورد عدم قطعیت ناشی از خطی بودن توصیه کرده است.

هنگام ارزیابی عدم قطعیت خطی بودن برخی از مراجع نیز روش خطای استاندارد را پیشنهاد کرده‌اند. زیرا برخی از محققین اعتقاد دارند که روش حداکثر انحراف برای برآورد عدم قطعیت ناشی از خطی‌ بودن سبب می‌شود عدم قطعیت کل بیش از حد معمول و محتمل بزرگ شود. این امر به ویژه وقتی که در آنالیز عدم قطعیت اندازه‌گیری، خطا یا اریبی نتایج اندازه‌گیری در نظر گرفته شده باشد، ممکن است رخ دهد. عکس موضوع نیز ممکن است رخ دهد یعنی اگر در آنالیز عدم قطعیت اندازه‌گیری خطا یا اریبی نتایج اندازه گیری در نظر گرفته نشده باشد، خطر دست کم گرفتن عدم قطعیت اندازه گیری در بودجه کل وجود خواهد داشت. لذا پیشنهاد می‌شود هنگامی که آنالیز عدم قطعیت اندازه گیری شامل اریبی می‌شود از روش خطای استاندارد از خطی بودن استفاده نماید و هنگامی که آنالیز عدم قطعیت اندازه گیری شامل اریبی نمی‌شود از روش حداکثر انحراف از خطی بودن استفاده شود.

7- نحوه محاسبه عدم قطعیت ناشی از خطی بودن به صورت گام به گام

در ادامه قصد داریم همراه با یک مثال عددی نحوه محاسبه عدم قطعیت ناشی از خطی بود را در نرم افزار Minitab تشریح نماییم. 

7-1- وارد نرم افزار Minitab شوید و مطابق با آنجه که در شکل زیر نشان داده شده است مقادیر مرجع و مقادیر اندازه گیری شده را در پنجره Work Sheet وارد  نماید. مقادیر مرجع (Standard)‌ در ستون C1 و مقادیر اندازه‌گیری شده (UUT) در ستون C2 وارد شده است.

7-2- با استفاده از مسیر زیر وارد قسمت مربوط به تحلیل رگرسیون نرم افزار Minitab شوید:

Stat > Regression > Regression > Fit Regression Model

برای مشخص کردن ستون های داده‌هایی که می‌خواهید تجزیه و تحلیل بر روی آنها انجام شود، مطابق با شکل زیر عمل کنید:

In Responses, enter ‘UUT (Y)’

In Continuous predictors, enter ‘Standard (X)’

برای نشان دادن مقادیر باقیمانده‌ها در پنجره خروجی نرم افزار وارد قسمت Results شوید و در لیست باکس Fits and diagnostics گزینه For all observations را مطابق با شکل  زیر را انتخاب نماید و سپس دو بار بر روی گزینه ok‌ کلیک نماید.

Stat > Regression > Regression > Fit Regression Model > Results

7-3- در پنجره نمایش خروجی‌های (Session) نرم افزار Minitab حداکثر انحراف از خطی بودن (Maximum Residual) و خطای استاندارد (Standard Error) تعیین شده است. برای مثال ارائه شده فوق حداکثر انحراف از خطی بودن برابر با 2.182 و خطای استاندارد برابر با 1.18918 بدست آمده است.

یادآوری: برای تبدیل حداکثر انحراف از خطی بودن به عدم قطعیت استاندارد ناشی از خطی بودن مقادر بدست آمده برای حداکثر انحراف از خطی بودن (2.182)‌ را بر رادیکال 3 تقسیم می‌شود. مقدار بدست آمده (1.26) به عنوان عدم قطعیت استاندارد ناشی از خطی بودن در بودجه عدم قطعیت کل لحاظ می‌شود.

8- فیلم آموزش ارزیابی خطی بودن سیستم اندازه گیری